Исследование переходных и установившихся процессов заданной схемы на основе полных дифференциальных уравнений ее элементов
Работа добавлена: 2015-12-13





РЕФЕРАТ

Пояснительная записка к курсовой работе:

30 с.,  10 рис.,  3 приложения, 10 источников

Объект разработки - математическая модель электротехнической схемы, которая состоит из активных, емкостных и индуктивных элементов.

Цель работы - исследование переходных и установившихся процессов заданной схемы на основе полных дифференциальных уравнений ее элементов.

Разработка выполняется на основе знаний курсов “Теоретические основы электротехники” и “Математические методы и модели” Для исследования применяются методы контурных токов и узловых потенциалов, численные методы интегрирования дифференциальных уравнений и аппроксимации нелинейных зависимостей.

В результате работы составлена система дифференциальных уравнений заданной схемы, разработаны алгоритм и программа их решения. Исследованы переходные и устоявшиеся процессы заданной схемы при ее постоянных параметрах для режима включения на постоянное и переменное напряжение. На основе аппроксимации характеристики намагничивания катушки со сталью получена формула динамической индуктивности. Исследованы процессы с учетом нелинейности.

Выполненные расчеты подтвердили правильность теоретических знаний, полученных в курсе ТОЭ.

ЕМКОСТЬ, ИНДУКТИВНОСТЬ, НАСЫЩЕНИЕ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД, ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СХЕМЫ

1.1 Составление системы дифференциальных уравнений.

Рисунок 1.1-Исходная схема

Пусть дана схема (рис. 1.1).Составим для нее систему дифференциальных уравнений.

Для контура E, L1, C в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать:

               (1.1)

Аналогично для контура E, L2:

                         (1.2)

 Через емкость С и индуктивность L1, находящихся в одной ветви проходит единый ток, поэтому

                                 

А так как ,

                                  (1.3)

Для решения уравнений (1.1)-(1.3) необходимо выразить ток через интегрируемые переменные

Для узла 1 по первому закону Кирхгофа можно записать:

                                 (1.4)

Тогда для узла 2 ток  .                    (1.5)

Из контура E, Rn можно записать:

,

Откуда                                               (1.6)

Подставим найденное значение In в уравнение (1.5) и выразим из него Ie.

          (1.7)

 Отсюда                                    (1.8)

Подставим (1.8) в (1.1)-(1.3):

    (1.9)

Выделим в левой части производные и, выполнив преобразования, придем к окончательной системе дифференциальных уравнений.

              (1.10)  

1.2 Разработка алгоритма решения дифференциальных уравнений.

При разработке алгоритма и программы решения дифференциальных уравнений необходимо, чтобы:

  1.  Интегрирование дифференциальных уравнений происходило в цикле с шагом интегрирования h, что обеспечивает устойчивость решения и возможность дальнейшего построения графиков переходного процесса.

Длительность решения определяется характером переходного процесса в зависимости от постоянных времени цепи и равна (3÷5)τ.

  1.  Задание коэффициентов при интегрируемых переменных отвечало возможности их использования как в главной программе, так и во вспомогательных процедурах.
  2.  Задание начальных значений интегрируемых переменных определялось положением ключа К и не противоречило 1-му и 2-му законам коммутации.
  3.  Интегрирование происходило с достаточно малым шагом h (20 точек на 50 Гц, h=0.001 с), что обеспечивает устойчивость и точность интегрирование. Дальнейшее корректирование величины шага выполняется с учетом характера переходного процесса и возникающих высокочастотных колебаний в LC цепях.
  4.  При обращении к стандартной процедуре интегрирования помнить про параметры процедуры по умолчанию. При необходимости их можно корректировать.
  5.  Вывод результатов производился в текстовый файл с целью их дальнейшего использования для построения графиков в оболочке Excel. Выводу подлежат: напряжение Е, все интегрируемые переменные, токи во всех ветвях цепи и напряжения в узлах.



1.5 Использование оболочки MathCAD.

 

Для решения систем дифференциальных уравнений, представленных в форме Коши, в MathCAD есть несколько функций:

 rkfixed(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с постоянным шагом системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

 rkadapt(y,x1,x2,n,F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с изменяющимся шагом системы обыкновенных дифференциальных уравнений  с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n. Функция rkadapt благодаря автоматическому изменению шага решения дает более точный результат, хотя проигрывает в скорости вычислений.

Однако решение жестких систем, имеющих резкую смену скорости значений переменных и требующих очень маленький шаг, иногда не может быть выполнено методом Рунге-Кутта.

 bulstoer(y,x1,x2,acc,n,F,k,s) - возвращает матрицу решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (используется метод решения Булирша-Штера с изменяющимся шагом, параметры k и s задают максимальное число промежуточных точек, на которых ищется решение, и минимально допустимый интервал между ними).

 аcc – погрешность решения (рекомендуется 0.001).

 stiffb(y,x1,x2,n,F,J) - возвращает матрицу решений жестких дифференциальных уравнений, записанных в векторе F и функции Якобиана J, y – вектор начальных значений на интервале [x1,x2].

Матрица-функция Якоби J размером n x (n+1) имеет вид:

Для данной схемы решение с помощью процедуры rkfixed имеет вид:

Рисунок 1.3-График переходного процесса в MathCAD 

Рисунок 1.2-Блок-схема алгоритма решения дифференциальных уравнений

Таблица 2.1 Включение схемы на постоянное напряжение

t

Uc

Il1=Ic

Il2

Ie

In

0.000

0.000

0.000

 0.000

3.333

3.333

0.001

0.243

4.139

2.113

7.502

1.249

0.002

0.732

5.340

2.953

8.862

0.569

0.003

1.270

5.285

3.426

9.141

0.430

0.004

1.771

4.659

3.876

9.024

0.488

0.005

2.193

3.760

4.422

8.788

0.606

0.006

2.519

2.731

5.089

8.546

0.727

0.007

2.738

1.652

5.868

8.346

0.827

0.008

2.849

0.578

6.732

8.207

0.897

0.009

2.855

-0.448

7.650

8.135

0.933

  

Рисунок 2.1-Включение схемы на постоянное напряжение


Таблица 2.2 Включение схемы на переменное напряжение при Ψ=0˚

t

Uc

Il1=Ic

Il2

Ie

In

0

0

0

0

0

0

0.001

0.027

0.757

0.382

1.78

0.654

0.002

0.174

2.206

1.151

4.189

0.843

0.003

0.466

3.591

1.997

6.403

0.842

0.004

0.876

4.508

2.788

8.077

0.716

0.005

1.345

4.742

3.459

8.88

0.56

0.006

1.799

4.209

3.98

8.732

0.391

0.007

2.162

2.935

4.339

7.656

0.22

0.008

2.365

1.037

4.529

5.778

0.055

0.009

2.355

-1.29

4.555

3.3

-0.098

Рисунок 2.2-Включение схемы на переменное напряжение при Ψ=0°

Рисунок 2.3- Включение схемы на переменное напряжение при Ψ=90°

Таблица 2.3 Установившийся режим

t

Uc

Il1=Ic

Il2

Ie

In

E

0

0

0

0

0

0

0

0.001

0.027

0.757

0.382

1.78

0.654

3.089

0.002

0.174

2.206

1.151

4.189

0.843

5.875

0.003

0.466

3.591

1.997

6.403

0.842

8.087

0.004

0.876

4.508

2.788

8.077

0.716

9.509

0.005

1.345

4.742

3.459

8.88

0.56

10

0.006

1.799

4.209

3.98

8.732

0.391

9.514

0.007

2.162

2.935

4.339

7.656

0.22

8.097

0.008

2.365

1.037

4.529

5.778

0.055

5.888

Рисунок 2.4-Установившийся режим

Расчет установившегося режима в MathCAD.

Рисунок 2.5-Установившийся режим в MathCAD

Рисунок 4.2-Аппроксимация характеристики намагничивания экспоненциальной               функцией

Рисунок 4.3-Аппроксимация производной характеристики намагничивания

Таблица 5.1 Включение схемы на постоянное напряжение при іmax=13.6 A

t

Uc

Il1=Ic

Il2

Ie

In

L2

0

0

0

0

3.333

3.333

6.314

0.001

0.221

3.676

3.192

7.912

1.044

18.584

0.002

0.65

4.654

3.897

9.034

0.483

21.445

0.003

1.118

4.59

4.268

9.239

0.381

23.072

0.004

1.553

4.058

4.613

9.114

0.443

24.091

0.005

1.923

3.311

5.018

8.885

0.557

25.27

0.006

2.212

2.472

5.495

8.645

0.677

26.457

0.007

2.416

1.614

6.038

8.435

0.783

27.472

0.008

2.536

0.781

6.63

8.274

0.863

28.167

0.009

2.575

0.001

7.258

8.173

0.913

28.462

0.01

2.538

-0.709

7.91

8.133

0.933

28.347

Рисунок 5.1-Включение схемы на постоянное напряжение при іmax=5.3 A

Рисунок 5.2-Включение схемы на переменное напряжение при іmax=4.6 А

Содержание

Стр.

Введение…………………………………………………………………………………

1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СХЕМЫ………………………

1.1 Составление дифференциальных уравнений……………………………………

1.2 Разработка алгоритма решения дифференциальных уравнений........................

1.3 Разработка программы решения дифференциальных уравнений......................

1.4 Численное решение дифференциальных уравнений...........................................

1.5 Использование оболочки MathCAD……………………………………………

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СХЕМЫ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ПАРАМЕТРАХ…………………………………………………………………………

2.1 Включение схемы на постоянное напряжение…………………………………

2.2 Включение схемы на переменное напряжение…………………………………

2.2.1 Включение схемы на переменное напряжение при Ψ=0°…………………

2.2.2 Включение схемы на переменное напряжение при Ψ=90°………………

2.2.3 Расчет установившегося режима……………………………………………

2.2.4 Расчет установившегося режима символическим методом………………

3 УЧЕТ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ

СХЕМЫ………………………………………………………………………………….

3.1 Аппроксимация характеристики намагничивания……………………………

3.2 Моделирование нелинейной зависимости………………………………………

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СХЕМЫ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРАХ…………………………………………………………………………

4.1 Включение схемы на постоянное напряжение…………………………………

4.2 Включение схемы на переменное напряжение…………………………………

Выводы…………………………………………………………………………………

Перечень ссылок…………………………………………………………………………

Приложение А Перечень замечаний нормоконтролера………………………………

Приложение Б Текст программы решения дифференциальных уравнений

      на языке С++ при постоянных параметрах схемы…………………

Приложение В Текст программы аппроксимации нелинейной

Приложение Г Текст программы решения дифференциальных уравнений

Приложение Б

Текст программы решения дифференциальных уравнений на языке С++ при постоянных параметрах схемы

#include <iostream.h>

#include <imsl.h>

#include "stdafx.h"

#include "stdio.h"

#include <process.h>

#include <math.h>

void fcn(int neq, float t, float y[], float yprime[]);

float C=0.01;

 float E=10.0;  //для включения на постоянное напряжение

 float L1=0.001;

float L2=0.002;

float Re=1.0;

float Rn=2.0;

double Ie,In;

void main()

{

FILE *stream;

stream=fopen("results.txt", "w");

int neq = 3; //число диф. ур-ний

 float t = 0.0; //независимая переменная

 float h = 0.001; //шаг

 float tend = t; //значение t в котором нужно получить результат

 float y[] = {0.0, 0.0, 0.0};//начальные условия

 int k;

 char *state;

fprintf(stream,"        t          Uc        Il1=Ic       Il2          Ie         In\n");

imsl_f_ode_runge_kutta_mgr(IMSL_ODE_INITIALIZE, &state, IMSL_TOL, 0.05, 0);

//y[0]=Uc

//y[1]=Il1

//y[2]=Il2

for(k=0; k<200; k++)

{

 imsl_f_ode_runge_kutta(neq,&t,tend,y,state,fcn);

 tend=t+h;

 fprintf(stream, "%10.3f  %10.3f  %10.3f  %10.3f  %10.3f  %10.3f\n",t,y[0],y[1],y[2], Ie, In);

Продолжение приложения Б

}

 fclose(stream);

 system("type results.txt");

}  

void fcn(int neq, float t, float y[], float yprime[]) {//массив правых частей

float z=Rn+Re;

 float E=10.0*sin(314*t+90); //для включения на переменное напряжение

 yprime[0] = y[1]/C;

yprime[1] = Rn*(E-Re*(y[1]+y[2]))/(z*L1)-y[0]/L1;

yprime[2] = Rn*(E-Re*(y[1]+y[2]))/(z*L2);

Ie=(E+Rn*y[1]+Rn*y[2])/(Rn+Re);

In=Ie-y[1]-y[2];

}








Приложение В

Текст программы аппроксимации нелинейной зависимости

  1.  Аппроксимация характеристики намагничивания степенной функцией

#include <imsl.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

double fcn(int m, double x)

{

return pow(x,1./m);

}

void main()

{

int nbasis = 5;

 int   ndata= 31;

double *coef, ssq_err, intercept;

double xdata[31]={0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7, 1.8,1.9,2.0,2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,3.0};

double ydata[31]={0.0,0.04,0.15,0.29,0.4,0.53,0.64,0.75,0.87,1.0,1.1,1.2,1.3,1.37,1.42, 1.47,1.52,1.57,1.6,1.63,1.65,1.67,1.69,1.7,1.71,1.72,1.73,1.735,1.74,1.745,1.75};

coef = imsl_d_user_fcn_least_squares(fcn, nbasis, ndata, xdata, ydata,

                                                          IMSL_INTERCEPT, &intercept,

             IMSL_SSE, &ssq_err,0);

printf("Koef.multinom. %11.3f%11.3f%11.3f%11.3f%11.3f%11.3f\n", intercept, coef[0], coef[1], coef[2], coef[3], coef[4]);

printf("ssq_err %10.3f\n",ssq_err);

}

2. Аппроксимация производной характеристики намагничивания

#include <imsl.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

double fcn(int m, double x)

{

return tanh(m*(x-0.2));

}

void main()

{

Продолжение приложения В

int nbasis=3;

int   ndata= 30;

double *coef, intercept;

double ssq_err;

double xdata[30]={.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0,2.1,2.2, 2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,3.0};

double ydata[30]={.11,1.18,1.38,1.39,1.33,1.25,1.16,1.08,0.99,0.91,0.83,0.75,0.68,0.61, 0.55,0.49,0.43,0.38,0.32,0.27,0.22,0.18,0.13,0.09,0.05,0.009,-0.029,-0.066,-0.1,-0.136};

coef = imsl_d_user_fcn_least_squares(fcn, nbasis, ndata, xdata, ydata,

                                                   IMSL_INTERCEPT, &intercept,

 IMSL_SSE, &ssq_err,0);

printf("Koef.multinom. %10.3f%10.3f%10.3f%10.3f%10.3f%10.3f\n", intercept, coef[0], coef[1], coef[2], coef[3], coef[4]);

printf("ssq_err %10.3f\n",ssq_err);

}


Приложение Г

Текст программы решения дифференциальных уравнений на языке С++ при переменных параметрах схемы

#include <iostream.h>

#include <imsl.h>

#include "stdafx.h"

#include "stdio.h"

#include <process.h>

#include <math.h>

void fcn(int neq, float t, float y[], float yprime[]);

float C=0.01;

float E=10.0;  //для включения на постоянное напряжение

 float L1=0.001;

float L2=0.002;

float Re=1.0;

float Rn=2.0;

float Lf2;

float imax=13.6;

void main()

{

FILE *stream;

stream=fopen("results.txt", "w");

 int neq = 3; //число диф. ур-ний

float t = 0.0; //независимая переменная

float h = 0.001; //шаг

float tend = t; //значение t в котором нужно получить результат

float y[] = {0.0, 0.0, 0.0};//начальные условия

int k;

 char *state;

fprintf(stream,"        t          Uc        Il1=Ic       Il2          Ie         In      L2\n");

imsl_f_ode_runge_kutta_mgr(IMSL_ODE_INITIALIZE, &state,IMSL_TOL, 0.05, 0);

//y[0]=Uc

//y[1]=Il1

//y[2]=Il2

for(k=0; k<164; k++)

{

 imsl_f_ode_runge_kutta(neq,&t,tend,y,state,fcn);

 double Ie=(E+Rn*y[1]+Rn*y[2])/(Rn+Re);

 double In=Ie-y[1]-y[2];

Продолжение приложения Г

 tend=t+h;

 fprintf(stream, "%10.3f %10.3f %10.3f %10.3f %10.3f %10.3f %10.3f\n",t,y[0],y[1],y[2],Ie,In,Lf2*10000);

}

fclose(stream);

system("type results.txt");

}

 

void fcn(int neq, float t, float y[], float yprime[]) {//массив правых частей

float z=Rn+Re;

float E=10.0*sin(314*t); //для включения на переменное напряжение

 float i=y[2]/imax;

Lf2=0.00201*(0.812-2.88*tanh(i-0.2)+0.405*tanh(2*(i-0.2))+1.699*tanh(3*(i-0.2)));

yprime[0] = y[1]/C;

yprime[1] = Rn*(E-Re*(y[1]+y[2]))/(z*L1)-y[0]/L1;

yprime[2] = Rn*(E-Re*(y[1]+y[2]))/(z*Lf2);

}


Начало

Определение

загол.файлов

пределение

глоб. конст.

Определение

лок. конст.

Инициализация

диф. уравнений

Цикл

интегриров.

Вывод

числов. данных

Обращение

к стандарт. п/п

Расчет прав.

частей диф.ур-й

tend=t+h

Конец

Главная

программа

1

2

3

4

5

6

7

8

9




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения и системы уравнений с постоянными коэффициентами

2. Исследование переходных процессов

3. Задача Коши для дифференциального уравнения и для системы дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности решения. Случай линейных уравнений и систем

4. Исследование переходных процессов в простейших электрических линейных цепях и в колебательном контуре

5. Моделирование переходных процессов в трансформаторе

6. Операторный метод расчета переходных процессов

7. Расчёт переходных электромеханических процессов в электрических системах

8. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля

9. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЯХ

10. Математическая модель электротехнической схемы, которая состоит из активных, емкостных и индуктивных элементов