Закон больших чисел в форме Чебышева
Работа добавлена: 2016-06-21





9_Закон больших чисел в форме Чебышева.

Неравенство Чебышева.

Для  сл. вел ξ имеющей конечную дисперсию (Дξ<∞).Для>0 справедлива неравенство: P{|ξ-Mξ| ≥}≤ Дξ/2.

Опр. Последовательность сл.в. {ξn}сходится к сл.в. ξ по вероятности0limP {|ξn ξ|}=0 илиlimP {|ξn ξ|}=1

Неравенство Чебышева имеет ограниченное применение для практики, т.к. часто дает грубые не представляющие интересы оценки- это неравенство в основом служит основой для доказательства многих предельных теорем.

Опр. Говорят, что последовательность сл.в. удовлетворяет закону больших чисел, если среднее значение этих сл.в. сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат-ких ожиданий.

.

0;

Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева)

Если последовательность незав-мых сл.в. ξ1, ξ2,…ξn имеет конечные математические ожидания Мξi<∞, i=1,n  и дисперсии сл.в. ограничены одной и той же постоянной, т.е. Дξi≤С  С=const  i=1,n  то рассматриваемая последовательность удовлетворяет ЗБЧ

Док-во Покажем, что выполняется соотношение

 Воспользуемся неравенством Чебышева в виде: P{|ξ-Mξ| ≥}≤ Дξ/2. Обозначим ч/з  тогда

,а  (независимые сл.вел.)



Эта теорема утверждает, что среднеее арифметическое болшого числа независимых сл.вел. утрачивает характер сл.вел, т.е. сходится про вероятности к некоторому постоянному числу.

Теорема.(необходимое и достаточное условие ЗБЧ)

Пусть ξ1, ξ2,…ξn , где

11_Теорема о выборочной средней и выборочной дисперсиии.

Опр. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.

Опр. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов из которой производится выборка.

Опр. Объемом совокупности называется число элементов этой совокупности (выборочной или генеральной).

Выборочные характеристики:

  1. ивыборочная средняя.
  2. и  - выборочная дисперсия.

Требования предъявляеме к статистическим оценкам:

  1. *- несмещенная оценка :  М*= . ЕслиLim М* = приn , то оценка называется ассимптотически несмещенной. Это требование означает, что по крайней мере в среднем оценка приводит к желаемому результату.
  2. * - состоятельная оценка:а)LimM*= приn;

b) LimД*=0приn;

  1. * - эффективная оценка;

Опр Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если среди других несмещенных оценок этого параметра она имееет наименьшую дисперсию.

Теорема (О выборочной средней)

Выборочная средняя () вычисленная поn-независимым наблюдениям над случайной велечиной Х, имеющей математическое ожидниеm и дисперсию2 (MX=m, ДХ=2) является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожиданияm генеральной совокупности.

Доказательство

  1. Несмещенность:

 [т.к хi независимые, одинокаво распределенные сл.вел-ны, полученные в результате наблюдений над сл.вел. Х поэтому Мхi=МХ=m; Дхi=ДХ=2]  =1/n(nm)=m.

  1. Состоятельность:

 Воспольземся неравенством Чебышева P{|ξ-Mξ| ≤}≥ 1-Дξ/2.   ;;

 т.е..

Теорема (О выборочной дисперсии)

Выборочная дисперсии (Дв) вычисленная поn-независимым наблюдениям над случайной велечиной Х, имеющей математическое ожидниеm и дисперсию2 (MX=m, ДХ=2) является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Доказательство

Нужно показать, что МДв2.

;

Слагаемое



Опр СтатистикаS*2в*n/(n-1) – назывется исправленной выборочной дисперсией.

n/(1-n) – поправка Бесселя. МS*2=2

Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. При числе наблюдений > 50 на практике нет разницы междуS*2 (приn<50) и Дв (приn>50).




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. Моделирование полосно-пропускающего фильтра Чебышева методом инвариантного преобразования

2. Отчет о прохождении ознакомительной практики в форме экскурсии

3. Нормализация. Приведение логической модели данных к третье нормальной форме

4. Протоколы следственных действий и судебного заседания. Понятие, виды, требования закона к уголовно-процессуальной форме

5. Представление чисел в компьютере

6. Нахождения чисел Фибоначчи

7. Представление вещественных чисел

8. ЗАКОН СПРОСА

9. Представление вещественных чисел в компьютере

10. Представление целых чисел в компьютере